Neben ganzrationalen Funktionen gibt es noch die sogenannten Exponentialfunktionen, mit denen wir uns noch beschäftigen müssen. Eigentlich ist dieser Funktionstyp viel cooler als der Funktionstyp der ganzrationalen Funktionen – vor allem auch deshalb, weil Exponentialfunktionen sehr häufig in Naturwissenschaften drankommen.
Gut, das ist jetzt nicht für jeden von Euch ein starkes Argument, aber dennoch kann man mit Exponentialfunktionen gut arbeiten.
Ich sage mal PROST, denn wir beginnen diese Unterrichtsreihe mit einem Schluck Bier – entgegen meines Naturells habe ich mich als Lehrer in Duisburg für KöPi entschieden – auch wenn ja jedem klar sein sollte, dass ALtbier um ein Vielfaches besser schmeckt.
1) Das Bierschaum-Experiment
Schaut Euch einmal an, wie ich die Höhe des Bierschaums gemessenhabe.
Auf Grundlage dieses Videos müsst Ihr nun ein einführendes Arbeitsblatt bearbeiten, um Euch mal wieder an Funktionen zu gewöhnen. Los gehts!
Dieses Video gibt es in längeren Versionen, um die Graphen eigenständig zu ermitteln.
Einmal in voller Lämge mit einem Timer
Einmal in voller Länge mit Timer und Hilfslinie
Und wie immer erkläre ich Euch die Lösungen zum Arbeitsblatt … aber bitte vorher nicht „schummeln“.
2) Mit Exponentialfunktionen rechnen
Exponentialfunktionenkann man wie alle anderen Funktionen auch behandeln – man kann ähnliche Fragen stellen und diese dann auch ausrechnen oder anhand eines Graphen bestimmen. Schauen wir uns doch am Beispiel des Bierschaums das noch etwas genauer an.
Diese Aufgaben könnt Ihr eigentlich bereits mit Eurem Vorwissen lösen, daher versucht es wirklich einmal!
*** Hier kommt ein Lösungsvideo hin ***
Vertiefung: Der Logarithmus
Ohne einen GTR benötigt man den Logarithmus, um Exponentialfunktionen zu lösen. Der Logarithmus ist jetzt nicht sooo schwierig, so dass Ihr diesen auch einmal selber erarbeiten könnt – wenn Ihr Interesse an Mathe habt.
Einfache Grundlagen können im hilfsmittelfreien AUfgabenteil drankommen – da reicht aber häufig der gesunde Menschenverstand.
Und hierzu gibt es vielleicht auch einmal ein eigenes Video – wenn ich am Ende der Reihe noch Zeit habe.
3) Steigende Exponentialfunktionen als Übung
Wie ja bereits zu Beginn der Reihe gesagt, gibt es neben den fallenden Exponentialfunktionen auch steigende Exponentialfunktionen. Steigende Exponentialfunktionen gibt es zum Beispiel bei Vermehrungsprozessen – seien es Bakterien, Viden oder auch Kaninchen.
*** Hier kommt die Lösung hin ***
4) Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion und im Speziellen der e-Funktion
Ableiten einer allgemeinen Exponentioalfunktion ohne Basis e
*** Hier kommt noch etwas hin ***
Ableiten der e-Funktion
Zum Ableiten einer Exponentialfunktion mit Basis e benötigst Du zwei Informationen, die Du wissen musst.
- Die Ableitung von ist auch
- Du benötigst eine Kettenregel.
Vorübungen zur Kettenregel
Zuerst einmal ein paar Rechenübungen, um später besser die Kettenregel anwenden zu können.
Einige Erläuterungen dazu:
*** Hier kommt noch ein Video hin****
LÖSUNGEN zum Arbeitsblatt Vorübungen (KLICK zum Öffnen)
Lösungsvideo zur Aufgabe 1:
Lösungsvideo zur Aufgabe 2:
Die Kettenregel zur Ableitung von einfachen Exponentialfunktionen (und auch anderen Funktionen)
Hier seht Ihr, wie man einfache Exponentialfunktionen ableitet.
4a) Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen mit und ohne e als Basis
Wie Du beim Ableiten gesehen hast, ist es total praktisch, mit einer Exponentialfunktion zu arbieten, die die Basis e hat, da dann das Ableiten (und damit auch das Aufleiten) viel einfacher ist.
Man kann zum Glück jede Exponentialfunktion in wenigen Schritten umwandeln in eine Exponentialfunktion mit der Basis e.
5) GTR-Aufgaben zu Exponentialfunktionen
Hier findest Du einige Anwendungsaufgaben, die etwas mit Exponentialfunktionen zu tun haben und mit einem GTR / CAS gelöst werden können.
Wachstum eines Baumes – Exponentialfunktionen mit einer Basis ohne e
Hier findest Du den LINK zu einer geogebra-Simulation zum AB
Lösungen und Lösungshinweise
Eine kleine Einleitung zur Aufgabe, für den Fall, dass Du mir dem Sachkontext nicht gut zurechtkommst.
Lösungsvide aller Aufgaben
Lösungen zu diesem Arbeitsblatt (klicke hier)
Aufgabenteil a)
Aufgabenteil b)
Aufgabenteil c)
Aufgabenteil d) und e)
Aufgabenteil f)
Aufgabenteil g)
Aufgabenteil h)
Aufgabenteil i) und j)
Aufgabenteil k) und l)
Basiswechsel von einer beliebigen Exponentialfunktion zu einer e-Funktion
Man kann jede Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis in eine Exponentialfunktion mit einer anderenbasis umformen. Das macht vor allem dann Sinnn, wenn man die Basis e – also die Eulerzahl – nutzen will.
Der Zerfall von Cäsium – eine GTR-Aufgabe mit einer Exponentialfunktion mit Basis e
In Zukunft befasst man sich fast ausschließlich mit Exponentialfunktionen, die als Basis die Euler-Zahl e besitzen.
5a) HMF-Aufgaben zu Exponentialfunktionen
Es gibt auch ein paar kleine Aufgaben, die im hilfsmittelfreien Teil gelöst werden können – also los gehts.
Für die beiden Aufgaben musst Du wissen, wie man Tangenten erstellt und wie Du eine Stammfunktion bildest. Das erkläre ich Dir schnell noch einmal – an einer ganzrationalen Funktion.
HMF Übungsaufgabe 1
Diese auf Gruppenarbeit ausgelegte Übungsaufgabe befasst sich mit einigen hilfsmittelfreien Rechnungen von Exponentialfunktionen. Die Ableitungsregeln sind nötig.
Tipps findest Du hier:
Die Lösung zur HMF-Übungsaufgabe 1 findest Du unter diesem Link.
HMF Übungsaufgabe 2
Diese Übungsaufgabe ist genauso konzipiert wie die erste, nur ist die Funktion ein wneig anders.
Tipps findest Du hier:
Die Lösung zur HMF-Aufgabe 2 findest Du unter diesem Link.
6) Zusammengesetzte Exponentialfunktionen
Nun fangen wir mal an, uns mit sogenannten zusammengesetzten Exponentialfunktionen auseinanderzusetzen. Um mit diesen arbeiten benötigt man neben der Kettenregel, die Ihr ja schon zum Thema „Ableitung einfacher Exponentialfunkionen“ kennt, noch die Produktregel, die dann auch neu ist. Und damit es auch nciht zu einfach wird, muss anschließend alles noch kombiniert werden können.
Die Produktregel zum Ableiten
Die Kombination aus Produktregel und Kettenregel
Dann wollen wir das mal üben – mit einem kleinen Stationenlernen.
Die erste Station ist eine vollkommene Erklärstation mit einem ausführlichen Video. Die weiteren Stationen beinhalten Übungen, die Lösungen werde ich noch nachreichen. Versucht es doch einmal. Als letztes gibts eine vollständige Anwendungsaufgabe, bei der das Ableiten so richtig Spass macht … also beim Korrigieren zumindest nicht … so dass ich ein Lösungsvideo dabei getan habe.
Station 1: Wissensinput
Die erste Station beinhaltet alles, was uach in Station 2 und 3 vorkommt – allerdings ist die Lösung komplett ausformuliert. Daher empfiehlt es sich, diese auch als erstes zu bearbeiten.
Zu dieser Station gibt es ein vollständiges Lösungsvideo.
Station 2: Übung zum hilfsmittelfreien Teil
Hier eine Übung zum hilfsmittelfreien Aufgabenteil, die auf Station 1 aufbaut.
LÖSUNG zur Station 2
Station 3: Übung zur Lösung mit dem GTR
Die Funktion sieht schona nders aus – und lässt sich wahrscheinlich auch irgendwie im Kopf lösen – aber von Euch reicht mit eine GTR-Lösung. Beachtet die Operatoren – das Ableiten ist und bleibt nötig.
Lösung zu Station 3:
Station 4: die Schweinegrippe – eine GTR-Aufgabe
Hier kommt eine vollständige Anwendungsaufgabe, die Ihr so auch in einer Klausur finden könntet. Dann legt mal los!
Weil das Ableiten echt kniffig ist, hier noch eine kleine Hilfe dazu.
7) Ermittele die fehlenden Parameter
In einige Funktionen sind Parameter eingebaut, mit deren Hilfe man die Funktion an neue Gegebenheiten anpassen kann. So ist die Funktion eine Funktionsschar, da der Parameter a frei wählbar ist. Im Gegensatz zur Variablen x ist a jedoch wie eine Zahl zu verwenden, da dieser für eine Funktion anschließend gleich bleibt.
Eine solche Funktion wurde nun für die Beschreibung einer Epedemie entwickelt.
Hier mein Video mit allen Erläuterungen.
8) Integralrechnung und Exponentialfunktionen
Nutzt man anstatt einer Funktion, die die gesuchte Größe direkt angibt (zum Beispiel die Wassermenge in einem Becken in der Einheit m³) nur die Funktion, die die Änderungsrate der eigentlich gesuchen Funktion angibt, so wird die Interpretation der Sachzusammenhänge schwerer. Leider ist in der Praxis die Änderungsrate oft leichter zu messen. Hat man einen Durchlaufsensor in einer Zulauf bzw. einem Ablauf, so gibt dieser nicht an, wieviel Wasser in einem Becken ist, sondern eben nur dessen Änderungsrate – also wieviel Wasser (zum Beispiel in der Einheit m³ pro Stunde) aus dem Becken wieder hinaus oder eben hineinfließt.
Damit können wir bombig rechnen, aber im Sachzusammenhang ists leider ab und an etwas schwieriger.
Mit Integralen kann man eine ganze Menge machen – vor allem eignen sich Integrale dazu, Euch zum Nachdenken anzuregen. Daher gibt es für das nächste – zugegeben etwas schwierige Arbeitsblatt – auch nicht so viele Lösungsvideos – hier sollt Ihr einmal selber nachdenken, wie ein Ansatz aussehen könnte.
Die ersten vier Aufgaben habe ich Dir noch kommentiert, danach gibts nur noch einige Hinweise.
Die weiteren Aufgaben gibt es als schriftliche Lösung. Aber versuche es selber bevor Du Dir diese anschaust. Du sollst lernen, neue Ideen selbst zu entwickeln.
9) Übungen …
Nun kann endlich (haha) geübt werden – einmal Aufgaben mit einem Sachkontext und auch einmal Aufgaben aus dem hilfmittelfreien Aufgabenteil.
Übungen zum Ableiten
Je näher das Abitur rückt, desto mehr muss wiederholt werden. Hier gibt es ein gemischtes Übungsblatt, um Ableitungen von exponentialfunktionen zu üben. Und da ganzrationale Funktionen eh auch geübt werden müssen, findet das auch statt.
Also LOS gehts!
Die Lösung findest Du entweder direkt auf dem Arbeitsblatt oder eben hier:
Übungsaufgaben mit Sachkontext
Vitamin C wird oft als hilfreich für alles gepriesen – ob das stimmt oder nicht sei einfach mal dahingestellt und spielt auch keine Rolle. Für die erste Aufgabe gibt es LÖsungsvideos aus der Frühzeit meiner Video-Produktionstätigkeit (mit noch umwerfend schlechtem Sound). Für die zweite Aufgabe gibt es eine Lösung in Textform.
Die Lösungen für die Aufgabe 1 gibt es als Video – allerdings auch nur als Direktlink nicht als in die Webseite integriert.
Wie man die Ableitungsfunktion erstellt.
Lösung Aufgabenteil 1a) – Video
Lösung Aufgabenteil 1b) – Video
Lösung Aufgabenteil 1c) – Video
Lösung Aufgabenteil 1d) – Video
Lösung Aufgabenteil 1e) – Video
Lösung Aufgabenteil 1f) – Video
Lösung Aufgabenteil 1g) – Video
Die Lösung der zweiten Aufgabe gibts als PDF.
Übungsaufgaben im hilfsmittelfreien Teil
Hier zwei Übungen zu zusammengesetzten Exponentialfunktionen, die natürlich auch im hilfsmittelfreien Aufgabenteil vorkommen können. Für die erste Übungsaufgabe gibt es ein Lösungsvideo zu jedem Aufgabenteil, bei der zweiten „nur“ noch eine schriftliche Lösung.
erste Übungsuafgabe mit Videolösung
die Lösungsvideos:
zweite Übungsaufgabe
Die Lösungen findest Du hier.
10) optimale Flächen unter einer Funktion ermitteln
Man kann nicht nur Flächen unter einer Funktion bestimmen, man kann auch Rechtecke (oder Dreiecke …) mithilfe von Funktionen beschreiben, wenn beispielsweise einer der Punkte des geometrischen Objektes auf dieser Funktion liegt.
Dieser Punkt A kann nun auf der Funktion hin und herwandern. Dabei verändert sich die Fläche des Rechtecks. Wir suchen die optimale Fläche des Rechtecks. Schaue Dir mal das Video an und versuche es dann erst einmal ohne Hilfe. Einziger Tipp: Um die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen benötigt man dessel Länge und dessen Breite. Und das muss hier mithilfe der Funktion beschrieben werden …
Zum Verdeutlichen gibt es noch ein Video und dann ein Arbeitsblatt.
