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Statistik, Binomialverteilung und stochastische Matrizen

Statistiken auswerten und verstehen, gehört zur wichtigsten Grundbildung, die Ihr aus der Schulmathematik mitnehmen müsst. vor allem, dass Statistiken immer auch kritisch zu hinterfragen sind.

0) Grundlagen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bevor es überhaupt losgeht, müssen einmal ein paar Grundlagen wiederholt werden – hier findest Du immer wieder neue Videos dazu.

absolute und relative Häufigkeiten

1) zweistufige Baumdiagramme

Ein Baumdiagramm ist eine graphische darstellung eines Sachzusammenhangs in der Statistk. Will man zwei verschiedene Ereignisse, die bei der W’keitsrechnung hintereinander durchgeführt werden, graphisch darstellen, so findet das oben genannte Diagramm häufig Anwendung. Die beiden Ereignisse können dabei voneinander abhängig oder auch unabhängig sein. Mehr dazu im Kapitel 4.

Einsteigen will ich mit einem Beispiel aus einer Fortbildung für Mediziner, welches ich einmal in einem Statistikheft gelesen habe. Dort geht es um die Mammographie bei der Brustkrebsfrüherkennung. Zuerst beschäftige ich mich mit einigen Grunddaten zur medizinischen Statistik (Prävalenz, Sensitivität, falsch-positiv-Rate) und anschließend auch mit einer recht komplexen Fragestellung.

00-ab-brustkrebs

Die Einfühung und dann auch eine Lösung zur Aufgabe 1

Anschließend stelle ich die eigentliche Frage aus Fortbildung, nämlich eine Schätzfrage: Was denkst Du, wie groß ist die Wahrschienlichkeit, dass eine Frau, die im ersten Schritt ein positives Mammographie-Ergebnis erhalten hat auch wirklich eine Brustkrebserkrankung hat? 90%, 81%, 10% oder 1%???

2) Der Erwartungswert (am Beispiel eines Glücksspiels)

Na, schon einmal Lotto gespielt? Weißt Du eigentlich, wie hoch die Chance ist, den Hauptgewinn zu bekommen? Zum Glück gibts aber nicht nur „den Hauptgewinn“ sondern auch ganz viele andere Gewinne, sonst würde das Spielchen wohl niemand spielen wollen. Um am Ende vielleicht zumindest ansatzweise zu verstehen, wie der Hauptgewinn beim Lotto berechnet wird, beginnen wir mal mit einfachen Glücksspielen – und nutzen da in erster Linie Glücksräder oder Würfel. Da sind die Wahrscheinlichkeiten größer und auch besser nachvollziehbar.

00-ab-fair-unfair

Der Erwartungswert ist die zentrale Größe, die zum Beurteilen der Glücksspiele benötigt wird. Schaue Dir also zuerst einmal an, welche Bedeutung dieser hat.

Man kann aber nicht nur Glücksspiele analysieren sondern auch noch vertiefte Aufgaben lösen. Ein paar Beispiele erhälst Du hier:

3) die Vierfeldertafel

4) Statistische (Un)-Abhängigkeit

Häufig stellt man sich bei Ereignissen die Frage, ob diese voneinander statistisch abhängig sind – also ob das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass das andere Ereignis eintritt. Das kann man zum Glück gut prüfen.

04-ab-statistische-abhkeit

Dieser Zusammenhang ist erst einmal gar nicht so einfach, drum schaue es Dir mal an.

Video zur stochastischen Abhängigkeit

6) Bernulli-Experimente als Hinführung zur Binomialverteilung

Ballwürfe beim Basketball nutze ich hier als Beispiel, um in einer Klasse kooperativ eine Binomialverteilung zu erstellen. Da nicht immer ein Würfel zur Verfügung steht, kann gerne auf ein online-Tool ausgewichen werden.

LINK zum online-Würfel

LINK zur Excel-Datei, in die die Ergebnisse eingetragen werden können. Diese Datei muss entweder auf einem Rechner zur Präsentation der Lösung zur Verfügung stehen oder für eine kooperative Arbeit in eine Cloud geladen werden.

08-ab-ballwuerfe

7) die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine der interessantesten Methoden aus der Statistik – zumindest wenn man die Methoden als Grundlage nimmt, die in der Schule so gelehrt werden. Denn die Binomialverteilung lässt voraussagen über Zusammenhänge zu, die nicht mehr abstrakte Antworten auf die Frage „geht es oder geht es nicht“ bieten sondern zeigen, dass alle Voraussagen immer nur „zu einer gewissen W’keit“ zutreffen. Schaut mal her:

Mithilfe des GTRs können viele Rechnungen durchgeführt werden, schaut mal:

8) Anwendungsaufgaben mit der Binomialverteilung lösen

Bei Anwendungsaufgaben gibt es prinzipiell drei Größen, nach denen man sucht.

  • Es ist die W’keit für eine speziellen Fall x=r oder einen bestimmten Bereich x \leq r gesucht (B_{n;p}(r) oder B_{n;p}(x \leq r) oder B_{n;p}(x \geq r))
  • Es ist die W’keit gesucht, dass das binomialverteilte Ereignis eintritt oder nicht (p gesucht)
  • Es ist eine Anzahl n gesucht, so dass ein bestimmtes Ereignis mit einer gegebenen Genauigkeit eintrifft.

Diese drei Fälle stelle ich Dir in einem Arbeitsblatt vor, bei dem der Einsatz eines GTRs Voraussetzung ist. Im Anhang des Arbeitsblattes findest Du Screenshots für Deine Unterlagen.

12-ab-herpes

Im Arbeitsblatt sind einige Videos verlinkt, öffne dazu das Arbeitsblatt. Zu den Sigma-Regeln gibt es noch eine zusätzliche Information.

Lösungsvideo zu Aufgabe 1a

Lösungsvideo zu Aufgabe 1b

Lösungsvideo zu Aufgabe 1c

Lösungsvideo zu Aufgabe 2 – n bestimmen

Lösungsvideo zu Aufgabe 3 – W’keit p berechnen

12-ifo-sigma

9) Übungen … auch HMF

Hier ein paar Übungen, auch einige für den hilfsmittelreien Teil.

10-ab-uebungen-1

Die Lösungen dazu gibts es auch direkt dazu … wenn auch etwas kanpper also sonst.

*** Hier folgt noch eine HMF-Übung ****

10) Zwei Discos im Dorf – Einführung Matrizenrechnung

Wie entwickeln sich die Besucherzahlen bei den beiden Discotheken im Dorf, wenn man der Umfrage Glauben schenken darf …???…

Schaut selbst!

01-ab-diskos-einfuehrung

Diese Aufgabe kann mithilfe der sogenannten Matrizenrechnung bearbeitet werden – schaut Euch das doch einfach mal an!

Eine Einführung in die Nutzung von Matrizen

Die Matrizenmultiplikation

Bestimme eine Matrix aus gegebenen Werten …

Wie wars denn vorherige Woche? Die inverse Matrix bzw. „ein Schritt rückwärts“

Wie sieht denn die Zukunft aus? Die stabile Verteilung bzw. die Grenzamtrix

11) Wiederholung Gauß-Verfahren

Man kann es nicht oftgenug wiederholen – das Gauß-Verfahren.

Lineare Gleichungssysteme haben wir bisher immer nur mit dem GTR gelöst – aber das geht auch „mit der Hand“. Das Verfahren der Wahl heißt Gauß-Alorithmus – nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt. Zum Verfahren gibt es sowohl im Internet als auch in jedem Mathebuch unzählige Aufgaben – eine Einführung mit einer Erklärung gibt es hier.

Puh, ganz schön schwierig. In Eurem Mathebuch findet Ihr sicherlich ganz viele Übungsaufgaben zu diesem Thema. Aber hier gibt es auch noch ein Übungsblatt. In dem Übungsblatt findest Du zu jeder Aufgabe einen QR-Code, der Dich zu einer Lösung führt – bei der es auch Kommentare gibt.

13-ab-uebungen-gauss

Die Lösungen zu den jeweiligen Aufgabenteilen (teilweise auch mit Kommentar) findet ihr auf dem Arbeitsblatt über den QR-Code oder eben hier.

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