Flächenrechnung mit Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen

Kennst Du noch die Eigenschaften eines Dreiecks oder eines Parallelogramms? Schaue Dir das Video hier an und ordne anschließend die Eigenschaften den verschiedenen Flächen zu, die Du in Deiner Materialsammlung findest.

Nun übertragen wir unsere Erkenntnisse auf unregelmäßige Dreiecke.

Eine kleine Hilfe zur Konstruktion aus dem Video. Gerne kannst Du diese Zeichnung abzeichnen oder kopieren.

Bearbeite dieses Arbeitsblatt, bei dem Du die Flächen von vielen verschiedenen Dreiecken mit dem Schwerpunkt „Höhen finden“ bestimmen musst.

Nun haben wir endlich eine Formel für die Fläche eines Dreiecks hergeleitet – und müssen damit nur noch ein wenig üben. Bearbeite das Arbeitsblatt.

Zum Zeichnen benötigst Du die Kongruentsätze, mit deren Hilfe man Dreiecke zeichnen kann. Vielleicht musst Du das noch einmal wiederholen. Schaue dazu eine andere Seite an. Die Infos zu den kongruentsätzen findest Du unter Punkt 2.

Wie berechnet man die Fläche und wie findet man fehlende Strecken?

Auftrag 1: Löse das Arbeitsblatt

Bearbeite die häufig recht innermathematischen Aufgaben des Arbeitsblattes.

*** Hier kommt bald ein Lösungsvideo hin … ***

Auftrag 2: Dreiecke zeichnen wiederholen

Zum Zeichnen von Dreiecken benötigst Du die sogenannten Krongruentsätze, die im letzten Schuljahr Thema waren. Diese musst Du nun sicher können. Schaue Dir – falls noch nciht geschehen, auf der im Bild verlinkten Webseite den Punkt 2 noch einmal an und wiederhole das Zeichnen von Dreiecken mithilfe der Kongruentsätze.

Auftrag 3: Dreiecke aus der Karte

Suche Dir zwei Dreiecke aus der Karte, die zu Beginn der Reihe genutzt wurde. Übertrage diese in Deinen Hefter und berechne anschließend den Flächeninhalt in der Originalen Größe – also in Quadratkilometern.

Als nächstes wird das bei Dreiecken bereits gut geübte Verfahren angewendet, um eine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu finden.

Auftrag 1:

Nutze das Dreieck 2 sowie das Trapez 1, um eine Formel für das Parallelogramm 1 herzuleiten. Übertrage das Parallelogramm in Deinen Hefter und erläutere Deine Herleitung.

Auftrag 2:

Versuche eine Formel für den Flächeninhalt des Parallelogrammes P1 mithilfe der beiden Dreiecke 20 herzuleiten. Übertrage das Parallelogramm in Deinen HEfter und erläutere die Herleitung.

Auftrag 3:

Übertrage diese Zeichnung eines Parallelogramms in Deinen Hefter und fasse die von Dir gefundene Formel mithilfe der Skizze zusammen.

Auftrag 4:

Ich behaupte, dass das grüne und das schwarze Parallelogramm die gleiche Fläche besitzt. Erläutere und begründe!

Als nächstes ist eine Formel für ein Trapez gesucht. Dazu beginnst Du mit dem rechtwinkligen Trapez und untersuchst dann ein allgemeines Trapez.

Auftrag 1:

Finde mithilfe des Fünfecks 2 und des Dreiecks 11 eine Formel, mit deren Hilfe Du die Fläche des Trapezes 1 berechnen kannst. Übertrage die Erklärung zu Deiner Formel in Dein Heft.

Auftrag 2:

Prüfe diese Formel anschließend anhand des abgebildeten Trapezes auf dieser Seite. Übertrage es ins Heft und bestimme die fehlende Seitenlänge. Rechnest Du richtig, so erhältst Du als Fläche 66 cm².

Nun gibt es leider nicht nur rechtwinklige Trapeze sondern auch solche, die man als allgemeine Trapeze bezeichnet. Hier sind nur noch zwei Seiten parallel zueinander.

Auftrag 1:

Finde eine Formel für ein solches allgemeines Trapez 8, indem die Dreiecke 18 und 19 sowie das Fünfeck 3 genutzt wird. Übertrage das Trapez in Dein Heft und sichere dort die Begründung für die Flächenformel.

Auftrag 2:

Prüfe anschließend mithilfe des Trapezes hier Deine Formel. Rechnest Du richtig, so musst

Auftrag:

Übertrage dieses Trapez in Dein Heft und erkläre an ihm, wie die Fläche eines Trapezes berechnet werden kann.

Löse diese Übungsaufgaben zu Parallelogrammen und Trapezen.

Nicht immer treten die Flächen in Reinform auf. Oft sind verschiedene Flächen miteinander kombiniert, so dass man diese erst zerlegen muss.

Auftrag 1:

Übertrage die Fläche in Deinen Hefter, finde mehrere Wege, diese Fläche zu zerlegen und berechne dann mithilfe der Zerlegung den Flächeninhalt.

Lösungshinweise zu dieser Aufgabe (bitte aufklappen)

*** Hier kommen noch Aufgaben hin ***

Ich behaupte, dass die die folgenden jeweils drei Flächen alle gleich groß sind. Prüfe das nach, indem Du Die Flächen berechnest und erkläre es mit anschließend, indem Du mithilfe der Formen erläuterst, warum diese alle gleichgroß sind.